Câu 87. Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nhận $x=-1$ làm tiệm cận đứng như hình vẽ. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ bằng $-2$.

[Hình cần kiểm tra lại: p20_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(0;3)$, dạng $f^{\prime }(x)=\frac{k}{(x+1{)}^2}$. Vì $f^{\prime }(0)=k=3$ nên $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$.
Suy ra $f(x)=-\frac{3}{x+1}+C$. Trên đoạn $[0;2]$ (nằm trong khoảng $(-1;+\infty )$), $f$ đồng biến nên GTNN đạt tại $x=0$: $f(0)=C-3=-2\Rightarrow C=1$. Vậy $f(x)=1-\frac{3}{x+1}$.
a) Trên $(-1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ nên $f$ đồng biến, không nghịch biến → Sai.
b) $f(2)=1-\frac{3}{3}=0\ne -2$ → Sai.
c) $f^{\prime }(0)=\frac{3}{(0+1{)}^2}=3$ → Đúng.
d) $f(-2)=1-\frac{3}{-2+1}=1+3=4$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ trên $(-1;+\infty )$ nên $f$ đồng biến, không nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=1-\frac{3}{x+1}$ nên $f(2)=1-1=0\ne -2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ đi qua $(0;3)$ nên $f^{\prime }(0)=3$; kiểm tra $f^{\prime }(0)=\frac{3}{1}=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=1-\frac{3}{-1}=4$.