Chị Lan chuẩn bị mua nhà trị giá 1 tỷ đồng. Chị Lan thực hiện việc tiết kiệm bằng cách mỗi tháng gửi đều đặn vào ngân hàng 20 triệu đồng/tháng. Biết rằng trong thời gian chị Lan gửi tiền thì ngân hàng áp dụng mức lãi suất $0,6\%$ tháng và chị Lan không rút lãi lần nào. Hỏi chị Lan phải gửi tối thiểu bao nhiêu tháng để có được số tiền 1 tỷ đồng bao gồm cả tiền gốc và tiền lãi?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là số tháng cần gửi. Mỗi tháng gửi 20 triệu, lãi kép $0,6\%$/tháng (hệ số $1,006$), không rút lãi.

Theo cách gửi cuối tháng, tổng số tiền sau $n$ tháng là:
$$T_n=20\cdot \frac{1,006^n-1}{0,006}\text{ (triệu đoˆˋng)}.$$
Yêu cầu $T_n\ge 1000$:
$$1,006^n\ge 1+\frac{1000\cdot 0,006}{20}=1,3.$$
Lấy logarit: $n\ge \frac{\ln 1,3}{\ln 1,006}\approx \frac{0,262364}{0,0059821}\approx 43,85$, nên $n=44$.

Kiểm tra: với $n=44$: $1,006^{44}\approx 1,30177$, số tiền $\approx 20\cdot \frac{0,30177}{0,006}\approx 1005,9$ triệu $>1000$ triệu.
Với $n=43$: $1,006^{43}\approx 1,29401$, số tiền $\approx 20\cdot \frac{0,29401}{0,006}\approx 980,0$ triệu $<1000$ triệu.

(Nếu tính theo cách gửi đầu tháng, tổng tiền là $20\cdot 1,006\cdot \frac{1,006^n-1}{0,006}$; khi đó $1,006^n\ge 1,29817$, $n\ge 43,63$, cũng cho $n=44$; với $n=43$ chỉ đạt $\approx 983,6$ triệu, vẫn dưới 1000 triệu.)

Vậy chị Lan phải gửi tối thiểu $44$ tháng (khoảng 3 năm 8 tháng).