Cho hai hàm số $y=a^x,y=b^x$ ($a,b$ là các số dương khác 1) có đồ thị lần lượt là $(C_1),(C_2)$ như hình vẽ. Vẽ đường thẳng $y=c>1$ cắt trục tung và $(C_1),(C_2)$ lần lượt tại $M,N,P$. Biết rằng $S_{OMN}=3S_{ONP}$. Tìm mối liên hệ giữa $a$ và $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=c>1$ cắt trục tung tại $M(0;c)$, cắt $(C_1)$ tại $N({\log }_{a}c;c)$ và $(C_2)$ tại $P({\log }_{b}c;c)$. Từ hình vẽ, cả hai đồ thị đều đồng biến và $(C_1)$ dốc hơn nên $a>b>1$, do đó $0<{\log }_{a}c<{\log }_{b}c$.

Diện tích tam giác $OMN$ (đáy $OM=c$ trên trục tung, đường cao là hoành độ của $N$):
$$S_{OMN}=\frac{1}{2}c\cdot {\log }_{a}c.$$
Diện tích tam giác $ONP$ (đáy $NP={\log }_{b}c-{\log }_{a}c$ trên đường $y=c$, đường cao bằng $c$):
$$S_{ONP}=\frac{1}{2}c({\log }_{b}c-{\log }_{a}c).$$

Theo giả thiết $S_{OMN}=3S_{ONP}$:
$$\frac{1}{2}c{\log }_{a}c=\frac{3}{2}c({\log }_{b}c-{\log }_{a}c)\Rightarrow 4{\log }_{a}c=3{\log }_{b}c.$$
Đổi sang logarit tự nhiên: $\frac{4}{\ln a}=\frac{3}{\ln b}\Rightarrow 4\ln b=3\ln a\Rightarrow 3\ln a=4\ln b$.

Lấy mũ hai vế: $\ln (a^3)=\ln (b^4)$, suy ra $a^3=b^4$ (tức $a=b^{4/3}$, thỏa mãn $a>b>1$).

Kiểm tra lại: từ $a^3=b^4$ ta có $\ln a=\frac{4}{3}\ln b$, khi đó $4{\log }_{a}c=\frac{4\ln c}{\ln a}=\frac{4\ln c}{\frac{4}{3}\ln b}=\frac{3\ln c}{\ln b}=3{\log }_{b}c$, đúng điều kiện cần chứng minh. Vậy mối liên hệ giữa $a$ và $b$ là $a^3=b^4$.