Cho ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x\sin x}{2{\cos }^{3}x}dx=a\pi +b\sqrt{3}$, với $a,b$ là các số hữu tỷ. Giá trị của $a+b$ bằng:

**Chọn A**
π π x 1
u = d u = dx
3
x sin x x tan x 3
2 2
Ta có ∫ 3
dx = ∫ 2
dx . Đặt 
2 cos x 2 cos x dv = tan x tan 2 x
0 0

d x = tan x d ( tan x ) v = .
cos 2 x 2
Suy ra
π π π
3
x tan x x 13 3
∫0 2 cos2 x = - ∫
2
dx .tan x tan 2 x dx
4 0 40
π

π 1 3( 1 (
= - ∫ 2
- 1 dx
4 4 0 ) cos x )
π
π 1 3 π 3
= - ( tan x - x ) = - .
4 4 0 3 4
1 1 1
Do đó a =và b = - . Vậy giá trị của a + b = .
3 4 12