Cho $\cot \alpha =-\sqrt{2},\left(0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }\right)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$. Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$, mà $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (chỉ nhận giá trị dương). $\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$. $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) Đúng: $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\sin \alpha >0$.
b) Sai: $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}>0$, không nhận giá trị $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) Sai: $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, không phải $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha <0$ với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ suy ra $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ được ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, nhưng do $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ (chỉ giá trị dương), không phải $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, nên mệnh đề $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ sai.