Cho 2 số thực $x,y>0$ thỏa mãn điều kiện ${\log }_3(4^x+2^{x+1}y+4y^2)-{\log }_3(2^{x+1}y)=\frac{2^x(4y-2^x)}{4y^2}$. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của biểu thức $P=4^x-y^3-4y+1$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 48 chọn đáp án A.



Ta biến đổi phương trình đã cho:
${\log }_3\left(\frac{4^x+2^{x+1}y+4y^2}{2^{x+1}y}\right)=\frac{2^x(4y-2^x)}{4y^2}$
$⟺{\log }_3\left(\frac{2^x}{2y}+1+\frac{2y}{2^x}\right)=\frac{2^x}{y}-\frac{4^x}{4y^2}=-{\left(\frac{2^x}{2y}-1\right)}^2+1.$
Vì $x,y>0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{2^x}{2y}$ và $\frac{2y}{2^x}$:
$\frac{2^x}{2y}+\frac{2y}{2^x}\ge 2\Rightarrow \frac{2^x}{2y}+1+\frac{2y}{2^x}\ge 3\Rightarrow {\log }_3\left(\frac{2^x}{2y}+1+\frac{2y}{2^x}\right)\ge {\log }_{3}3=1.$
Mặt khác: $-{\left(\frac{2^x}{2y}-1\right)}^2+1\le 1$.
Do đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\frac{2^x}{2y}=1⟺2^x=2y⟺4^x=4y^2.$
Khi đó biểu thức $P$ trở thành:
$P=4y^2-y^3-4y+1=-y^3+4y^2-4y+1=f(y)(y>0).$
Đạo hàm: $f^{\prime }(y)=-3y^2+8y-4=-(y-2)(3y-2)$.
$f^{\prime }(y)=0⟺y=2$ hoặc $y=\frac{2}{3}$.
Lập bảng biến thiên của $f(y)$ trên $(0;+\infty )$, ta thấy $f(y)$ đạt cực đại tại $y=2$ với:
$P_{\max }=f(2)=-(2{)}^3+4(2{)}^2-4(2)+1=-8+16-8+1=1.$
Vậy $M=1\in (0;2)$.

Chọn đáp án A.