Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hàng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hàng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi 3 số là $a,ar,a{r}^2$ với $a>0$, $r>1$ (cấp số nhân tăng). Theo đề: $a(1+r+r^2)=65$. Vì $(a-1),ar,(a{r}^2-19)$ lập thành cấp số cộng nên $2ar=(a-1)+(a{r}^2-19)$, suy ra $a(r^2-2r+1)=20$, tức $a(r-1{)}^2=20$. Chia hai phương trình: $\frac{1+r+r^2}{(r-1{)}^2}=\frac{65}{20}=\frac{13}{4}$. Khai triển: $4r^2+4r+4=13r^2-26r+13\Rightarrow 9r^2-30r+9=0\Rightarrow 3r^2-10r+3=0\Rightarrow r=3$ hoặc $r=\frac{1}{3}$. Vì cấp số nhân tăng nên $r=3$, khi đó $a=\frac{20}{(3-1{)}^2}=5$. Vậy 3 số là $5,15,45$. Kiểm tra: tổng $5+15+45=65$; bớt 1 ở số thứ nhất và 19 ở số thứ ba ta được $4,15,26$ là cấp số cộng công sai 11. Đúng điều kiện đề bài.