Cho ΔABC có trọng tâm G. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AI}$ theo hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì E, F lần lượt là trung điểm của CA, AB nên EF là đường trung bình của ΔABC, do đó EF ∥ BC. Trong ΔABD, F là trung điểm của AB và đường thẳng qua F song song với BD (tức EF) cắt AD tại I, nên I là trung điểm của AD (đường trung bình của ΔABD). Suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Vì $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}=2\vec{v}$ và $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}=2\vec{u}$ nên $\overrightarrow{AD}=\vec{u}+\vec{v}$. Vậy $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.