Cho $\Delta ABC$ với $I,J,K$ lần lượt được xác định bởi $\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IC}$; $\overrightarrow{JC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{JA}$; $\overrightarrow{KA}=-\overrightarrow{KB}$. Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

(1) Tính $\overrightarrow{IJ};\overrightarrow{IK}$ theo $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$.

• Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CJ}$

$\iff \overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.



(0,25 điểm)

• $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BK}$

$$\iff \overrightarrow{IK}=-2\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}.$$

(0,25 điểm)

(2) Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

❖ Theo câu (1): $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{IK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{IK}=\frac{3}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\right)\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{IJ}$

$\Rightarrow$ Vậy $I,J,K$ thẳng hàng.

(0,5 điểm)