Cho biểu thức $D=\sin \left(\frac{5\pi }{2}-\alpha \right)+\cos (13\pi +\alpha )-3\sin (\alpha -5\pi )$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $\sin \left(\frac{5\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$; $\cos (13\pi +\alpha )=\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$; $\sin (\alpha -5\pi )=\sin (\alpha -\pi )=-\sin \alpha$ nên $-3\sin (\alpha -5\pi )=3\sin \alpha$. Vậy $D=\cos \alpha -\cos \alpha +3\sin \alpha =3\sin \alpha$.

a) Đúng: $D=3\sin \alpha$.

b) Với $\tan \alpha =2$, $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ thì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Khi đó $D=3\sin \alpha =-\frac{6\sqrt{5}}{5}\ne \frac{6\sqrt{5}}{5}$ → Sai.

c) $D=3\cos \alpha$ (đề viết $3\cos x$) khi $3\sin \alpha =3\cos \alpha \iff \tan \alpha =1\iff \alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$. Giá trị âm lớn nhất là $\alpha =-\frac{3\pi }{4}$ → Đúng.

d) $D=1\Rightarrow \sin \alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{8}{9}\Rightarrow {\tan }^2\alpha =\frac{1}{8}$. Đặt $t=\tan \alpha$, $M=\frac{t-3t^{-3}}{5t^3-2t^{-3}}=\frac{t^4-3}{5t^6-2}$. Với $t^2=\frac{1}{8}$: $t^4=\frac{1}{64}$, $t^6=\frac{1}{512}$, nên $M=\frac{\frac{1}{64}-3}{\frac{5}{512}-2}=\frac{-191/64}{-1019/512}=\frac{1528}{1019}\approx 1,5\ne \frac{7}{32}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn được $D=\cos \alpha -\cos \alpha +3\sin \alpha =3\sin \alpha$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ ở góc phần tư III nên $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, do đó $D=-\frac{6\sqrt{5}}{5}$, âm chứ không dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\sin \alpha =3\cos \alpha \iff \alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$; giá trị âm lớn nhất là $-\frac{3\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow {\tan }^2\alpha =\frac{1}{8}$; thay vào $M$ được $M=\frac{1528}{1019}\ne \frac{7}{32}$.