Cho phương trình $\sin 2x-\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=0(\ast )$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x$, nên phương trình $(\ast )$ trở thành $\sin 2x+\sin x=0\iff \sin x(2\cos x+1)=0$.
Suy ra $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$ hoặc $\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$.

a) Họ nghiệm gồm các điểm trên đường tròn lượng giác: $0,\pi ,\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$ — tức là đúng 4 điểm, không phải 3 điểm. Mệnh đề a SAI.

b) Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{2\pi }{3}$ (nhỏ hơn $\pi$). Mệnh đề b SAI.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{2\pi }{3}$ ứng với điểm $N$. Điểm $K$ đối xứng qua $O$ có số đo góc $(OA;OK)=\frac{2\pi }{3}+\pi =\frac{5\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$. Vì $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}-2\pi$ cùng biểu diễn điểm $K$, nên góc $(OA;OK)$ có thể nhận giá trị $-\frac{7\pi }{3}$. Mệnh đề c ĐÚNG.

d) Phương trình $\sin x-\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, biểu diễn bởi 2 điểm $\frac{\pi }{4}$ và $\frac{5\pi }{4}$, khác hoàn toàn 4 điểm của phương trình $(\ast )$. Mệnh đề d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $\sin x(2\cos x+1)=0$, cho họ nghiệm $x=k\pi$ hoặc $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, biểu diễn bởi 4 điểm $0,\pi ,\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$ trên đường tròn lượng giác, không phải 3 điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{2\pi }{3}<\pi$, nên nghiệm dương nhỏ nhất không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N$ ứng với số đo $\frac{2\pi }{3}$; điểm đối xứng $K$ có số đo $\frac{5\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$. Vì $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}-2\pi$ cùng biểu diễn $K$, góc $(OA;OK)$ có thể nhận giá trị $-\frac{7\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, biểu diễn bởi các điểm $\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$, không trùng với bất kỳ điểm nào của phương trình $(\ast )$.