Cho các số dương $a,b,c$ khác 1 thỏa mãn ${\log }_a(bc)=2,{\log }_b(ca)=4$. Tính giá trị của biểu thức ${\log }_c(ab)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A=\ln a,B=\ln b,C=\ln c$. Từ ${\log }_a(bc)=2$ ta có $bc=a^2$, tức $B+C=2A$. Từ ${\log }_b(ca)=4$ ta có $ca=b^4$, tức $C+A=4B$. Thay $C=2A-B$ vào phương trình thứ hai: $2A-B+A=4B\Rightarrow 3A=5B\Rightarrow A=\frac{5B}{3}$, suy ra $C=2\cdot \frac{5B}{3}-B=\frac{7B}{3}$. Khi đó ${\log }_c(ab)=\frac{A+B}{C}=\frac{\frac{5B}{3}+B}{\frac{7B}{3}}=\frac{8B/3}{7B/3}=\frac{8}{7}$. Kiểm tra: chọn $B=3$ thì $a=e^5,b=e^3,c=e^7$; $bc=e^{10}=a^2$ ✓, $ca=e^{12}=b^4$ ✓, ${\log }_c(ab)=\ln e^8/\ln e^7=8/7$ ✓.