Cho ba số thực dương $a,b,c$ đều khác 1 thỏa mãn ${\log }_{a}b=2{\log }_{b}c=4{\log }_{c}a$ và $a+2b+3c=48$. Khi đó $P=abc$ bằng bao nhiêu

(AI giải đề cho tôi)
Đặt ${\log }_{a}b=2{\log }_{b}c=4{\log }_{c}a=k$. Suy ra $b=a^k$, $c=b^{k/2}=a^{k^2/2}$, và $a=c^{k/4}=a^{k^3/8}$ nên $k^3=8\Rightarrow k=2$. Do đó $b=a^2$, $c=a^{k^2/2}=a^2$. Thay vào $a+2b+3c=48$: $a+5a^2=48\Rightarrow 5a^2+a-48=0\Rightarrow a=3$ (nghiệm dương). Vậy $b=c=9$, kiểm tra: ${\log }_{3}9=2$, $2{\log }_{9}9=2$, $4{\log }_{9}3=2$ ✓. $P=abc=3\cdot 9\cdot 9=243$.