Đặt $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{5}3$. Hãy biểu diễn ${\log }_{6}45$ theo $a$ và $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi về cơ số 3: ${\log }_{6}45=\frac{{\log }_{3}45}{{\log }_{3}6}=\frac{{\log }_{3}5+{\log }_{3}9}{{\log }_{3}2+{\log }_{3}3}=\frac{{\log }_{3}5+2}{{\log }_{3}2+1}$.

Từ $a={\log }_{2}3\Rightarrow {\log }_{3}2=\frac{1}{a}$; từ $b={\log }_{5}3\Rightarrow {\log }_{3}5=\frac{1}{b}$.

Suy ra ${\log }_{6}45=\frac{\frac{1}{b}+2}{\frac{1}{a}+1}=\frac{a(1+2b)}{b(1+a)}$.

Kiểm tra số: $a\approx 1,585$, $b\approx 0,6826$, biểu thức $\approx \frac{1,585\cdot 2,365}{0,6826\cdot 2,585}\approx 2,244$, đúng bằng ${\log }_{6}45\approx 2,244$.