Cho các số thực dương $x,y$ thoả mãn $x^2+y^2=14xy$. Khi đó ${\log }_2(x+y)=a+\frac{{\log }_{2}xy}{a}$. Tìm $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2=14xy$ suy ra $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=16xy$, nên $x+y=4\sqrt{xy}$ (vì $x,y>0$). Do đó ${\log }_2(x+y)={\log }_{2}4+{\log }_2\sqrt{xy}=2+\frac{1}{2}{\log }_{2}xy$. So sánh với ${\log }_2(x+y)=a+\frac{{\log }_{2}xy}{a}$ ta được $a=2$ và $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn). Vậy $a=2$.