Cho các số thực $x,y$ dương thỏa mãn ${\log }_2\frac{x+y}{x^2+y^2+2}=x(x-4)+y(y-4)+1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x+2y-2}{x+y+1}$.

Biến đổi phương trình về hàm đặc trưng: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=6$. Điểm $(x;y)$ thuộc đường tròn tâm $I(2;2)$, bán kính $R=\sqrt{6}$. Sử dụng phương pháp hình học tìm được $P_{\max }=\frac{13-\sqrt{7}}{9}$. Chọn A.