Cho dãy gồm 2023 số được sắp thứ tự tăng dần như sau: ${\mathrm{C}}_4^4;{\mathrm{C}}_5^4;\dots ;{\mathrm{C}}_{2025}^4;{\mathrm{C}}_{2026}^4$. Lấy ngẫu nhiên ba số hạng liên tiếp từ dãy số đã cho, biết xác suất để tổng của ba số này là một số lẻ bằng $\frac{a}{b}$, với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy gồm ${\mathrm{C}}_n^4$ với $n=4,\dots ,2026$ (2023 số hạng). Ba số hạng liên tiếp bắt đầu tại $n$: ${\mathrm{C}}_n^4,{\mathrm{C}}_{n+1}^4,{\mathrm{C}}_{n+2}^4$ với $n=4,\dots ,2024$ (2021 bộ ba, mỗi bộ ba cùng xác suất).

Theo định lý Lucas (cơ số 2), ${\mathrm{C}}_n^4$ lẻ khi và chỉ khi bit của $4=100_2$ là tập con bit của $n$, tức $n\mathrm{mod}8\in \{4,5,6,7\}$.

Tổng ba số lẻ khi số số hạng lẻ trong bộ ba là lẻ. Xét $r=n\mathrm{mod}8$, ba chỉ số có phần dư $r,r+1,r+2$ (mod 8):
- $r=0$: $(0,1,2)$ → 0 số lẻ (không thuận lợi);
- $r=1$: $(1,2,3)$ → 0 (không);
- $r=2$: $(2,3,4)$ → 1 (thuận lợi);
- $r=3$: $(3,4,5)$ → 2 (không);
- $r=4$: $(4,5,6)$ → 3 (thuận lợi);
- $r=5$: $(5,6,7)$ → 3 (thuận lợi);
- $r=6$: $(6,7,0)$ → 2 (không);
- $r=7$: $(7,0,1)$ → 1 (thuận lợi).

Vậy $r\in \{2,4,5,7\}$: mỗi chu kỳ 8 giá trị của $n$ có 4 giá trị thuận lợi.

Đếm $n\in [4,2024]$: 2021 số $=252\times 8+5$. Phần đầy đủ đóng góp $252\times 4=1008$. Phần dư $n=2020,\dots ,2024$ có $r\in \{4,5,6,7,0\}$, thuận lợi là $r=4,5,7$ (3 giá trị). Tổng: $1008+3=1011$ bộ ba thuận lợi.

Xác suất $=\frac{1011}{2021}$; $1011=3\times 337$, $2021=43\times 47$ nguyên tố cùng nhau. Vậy $a+b=1011+2021=3032$. (Lưu ý: báo cáo lỗi trước đó cho rằng phân loại $r=5,6$ sai là không chính xác — lập luận trên đã xếp đúng $r=5$ thuận lợi và $r=6$ không thuận lợi, nên đáp số 3032 được xác nhận.)