Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba với nghiệm kép tại $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành, cực đại $(-2;0)$), đi qua $(0;-4)$ và $(-1;-2)$. Suy ra $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$ (kiểm tra: $f^{\prime }(0)=-4$, $f^{\prime }(-1)=-2$ khớp đồ thị; đường nét đứt $x=-3$ chỉ điểm $(-3;-4)$ trên đồ thị, không phải nghiệm).

a) Với $x\in (0;1)$: $(x+2{)}^2>0$, $(x-1)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. → Sai.

b) $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x<1$, $x\ne -2$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>1$: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$. Trên $(-\infty ;1)$ phương trình $f(x)=f(0)$ có đúng một nghiệm $x=0$; trên $(1;+\infty )$ do $f$ đồng biến từ giá trị $f(1)<f(0)$ đến $+\infty$ nên có đúng một nghiệm. Tổng cộng chỉ có 2 nghiệm phân biệt. → Sai.

c) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-(x-1)=(x-1)\left[(x+2{)}^2-1\right]=(x-1)(x+1)(x+3)$. Nghiệm $x=-3,-1,1$; xét dấu: $g^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $g^{\prime }>0$ trên $(-3;-1)$, $g^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$, $g^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy $g$ có cực tiểu tại $x=-3$ và $x=1$: hai điểm cực tiểu. → Đúng.

d) ${\lim }_{x\to \pm \infty }h(x)=0$ (bậc tử < bậc mẫu) nên có tiệm cận ngang $y=0$. Tiệm cận đứng: $f^{\prime }(x)+2=0\iff (x+2{)}^2(x-1)=-2$. Đặt $t=x+2$: $t^2(t-3)+2=0\iff t^3-3t^2+2=0\iff (t-1)(t^2-2t-2)=0\iff t=1$ hoặc $t=1\pm \sqrt{3}$. Với $t=1$, $x=-1$ thì tử số $x+1=0$ đồng thời, hàm số có điểm không xác định removable (đồ thị bị thủng), không phải tiệm cận đứng. Chỉ còn $x=-2\pm \sqrt{3}$ là hai tiệm cận đứng. → Sai (đề nói ba tiệm cận đứng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ trên $(0;1)$ nên $f$ nghịch biến trên $(0;1)$, không đồng biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f$ nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$ nên $f(x)=f(0)$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=(x-1)(x+1)(x+3)$ đổi dấu qua $x=-3$ (từ âm sang dương) và qua $x=1$ (từ âm sang dương), nên $g$ có hai điểm cực tiểu tại $x=-3$ và $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có tiệm cận ngang $y=0$; phương trình $f^{\prime }(x)+2=0$ cho $x=-1,-2\pm \sqrt{3}$ nhưng $x=-1$ làm tử số $x+1$ đồng thời bằng 0 (điểm removable), nên chỉ có 2 tiệm cận đứng.