Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ.



Đặt $g(x)=f(f^{\prime }(x)-1)$. Số nghiệm dương phân biệt của phương trình $g^{\prime }(x)=0$ là

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(f^{\prime }(x)-1)$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{\prime }(f^{\prime }(x)-1)$. Do đó $g^{\prime }(x)=0$ khi $f^{\prime \prime }(x)=0$ hoặc $f^{\prime }(f^{\prime }(x)-1)=0$.

Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (bậc 4, bậc dương): cắt trục hoành tại $x=-1$, tiếp xúc tại $x=1$, cắt tại $x=2$; có cực tiểu $f^{\prime }(-1/3)=-3$, cực đại tại $x=1$ (giá trị 0) và một cực tiểu khác tại $x_0\approx 1,6$ (nhỏ hơn 0); $f^{\prime }(0)=-2$.

• $f^{\prime \prime }(x)=0$: $f^{\prime }$ có 3 điểm cực trị là $x=-1/3$, $x=1$, $x_0\approx 1,6$ → nghiệm dương: $x=1$ và $x\approx 1,6$: 2 nghiệm.

• $f^{\prime }(f^{\prime }(x)-1)=0\iff f^{\prime }(x)-1\in \{-1;1;2\}$, tức $f^{\prime }(x)\in \{0;2;3\}$:
- $f^{\prime }(x)=0$: nghiệm dương $x=1$, $x=2$ → 2 nghiệm.
- $f^{\prime }(x)=2$: nhánh trái ($x<-1/3$, giảm từ $+\infty$ xuống $-3$) cho nghiệm âm (vì $f^{\prime }(0)=-2<2$); nhánh phải cho đúng 1 nghiệm dương $x>2$ → 1 nghiệm dương.
- $f^{\prime }(x)=3$: tương tự, nhánh trái cho nghiệm âm, nhánh phải cho 1 nghiệm dương → 1 nghiệm dương.

Tổng số nghiệm dương phân biệt: $2+2+1+1=6$. Chọn A.