Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{2x+5}+ax+b}{(x+2{)}^2}$ ($a,b$ là các tham số). Biết đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Khi đó $a-b$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $2x+5\ge 0\iff x\ge -\frac{5}{2}$, nên $x=-2$ thuộc tập xác định. Hàm số chỉ có thể có tiệm cận đứng tại $x=-2$ (mẫu số triệt tiêu tại đó). Để không có tiệm cận đứng, giới hạn ${\lim }_{x\to -2}\frac{\sqrt{2x+5}+ax+b}{(x+2{)}^2}$ phải hữu hạn, tức tử số phải triệt tiêu đến bậc ít nhất 2 tại $x=-2$. Đặt $t=x+2$, khi đó $\sqrt{2x+5}=\sqrt{2t+1}=1+t-\frac{t^2}{2}+\cdots$ (khai triển Taylor quanh $t=0$). Tử số: $$1+t-\frac{t^2}{2}+\cdots +a(t-2)+b=(1-2a+b)+(1+a)t-\frac{t^2}{2}+\cdots$$ Yêu cầu hệ số của $t^0$ và $t^1$ bằng 0: $1-2a+b=0$ và $1+a=0\Rightarrow a=-1$. Suy ra $b=2a-1=-3$. Khi đó $a-b=-1-(-3)=2$. Thử lại: tử số $\approx -\frac{t^2}{2}$, nên giới hạn bằng $-\frac{1}{2}$ hữu hạn — đúng, đồ thị không có tiệm cận đứng. Vậy $a-b=2$, chọn đáp án C.