Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-5;2;0)$, $B(-4;-5;2)$, $C(0;-3;-2)$ và $D(4;0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trọng tâm $G$ của $ABC$: $G=\left(\frac{-5-4+0}{3};\frac{2-5-3}{3};\frac{0+2-2}{3}\right)=(-3;-2;0)$ có $z_G=0$ nên thuộc $(Oxy)$. Đúng.

b) $\overrightarrow{BC}=(4;2;-4)$. Gọi $H=B+t\overrightarrow{BC}=(-4+4t;-5+2t;2-4t)$. Điều kiện $(\overrightarrow{AH})\cdot \overrightarrow{BC}=0$: $\overrightarrow{AH}=(-1-4t;7-2t;-2+4t)$, tích vô hướng $=-4-16t+14-4t+8-16t=18-36t=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$. Vậy $H=(-2;-4;0)$, kiểm tra $y_0>x_0+1$: $-4>-1$ sai. Ý sai.

c) Với $M(m;0;0)$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với $G(-3;-2;0)$ là trọng tâm tam giác $ABC$, nên $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3\sqrt{(m+3{)}^2+4}$. Trung điểm $BC$ là $N(-2;-4;0)$, $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MN}$, nên $\frac{3}{2}|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3\sqrt{(m+2{)}^2+16}$. Do đó $P=3\left[\sqrt{(m+3{)}^2+2^2}+\sqrt{(m+2{)}^2+4^2}\right]$: tổng khoảng cách từ điểm $(m;0)$ đến $(-3;2)$ và $(-2;-4)$ (phản chiếu $(-2;-4)$ qua trục $Ox$ thành $(-2;4)$). Giá trị nhỏ nhất $=3\cdot |(-3;2)-(-2;4)|=3\sqrt{1+4}=3\sqrt{5}$. Vậy $a=3,b=5\Rightarrow 3a+2b=19\ne 117$. Ý sai.

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OCD$: $I=(m;n;p)$ thỏa $I\cdot \overrightarrow{OC}=\frac{|OC{|}^2}{2}=\frac{13}{2}$ và $I\cdot \overrightarrow{OD}=\frac{|OD{|}^2}{2}=8$. Từ $-3n-2p=\frac{13}{2}$, $4m=8\Rightarrow m=2$. Mặt phẳng $(OCD)$ qua gốc có pháp tuyến $\overrightarrow{OC}\times \overrightarrow{OD}=(0;-8;12)$, tức $2y-3z=0\Rightarrow 2n=3p$. Thay $p=\frac{2n}{3}$: $-3n-\frac{4n}{3}=\frac{13}{2}\Rightarrow n=-\frac{3}{2},p=-1$. Khi đó $m+2n+p=2-3-1=-2$. Đúng.

a) Trọng tâm $G(-3;-2;0)$ có tung độ $z$ bằng 0 nên thuộc mặt phẳng $(Oxy)$.
b) Hình chiếu $H=(-2;-4;0)$, khi đó $y_0=-4<-1=x_0+1$ nên khẳng định sai.
c) $P_{\min }=3\sqrt{5}$ nên $a=3,b=5$, $3a+2b=19\ne 117$, khẳng định sai.
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp $I\left(2;-\frac{3}{2};-1\right)$, $m+2n+p=-2$, khẳng định đúng.