Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ u_{n+1}=\frac{5u_n+4}{u_n+2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}.$$
a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới.
b) Với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta kí hiệu $v_n=\frac{1}{u_1-4}+\frac{1}{u_2-4}+\cdots +\frac{1}{u_n-4}$. Tìm $\lim \left(v_n+\frac{n}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 13.** Dãy $(u_n)$: $u_1=5$, $u_{n+1}=\frac{5u_n+4}{u_n+2}$.

**a) Dãy giảm và bị chặn dưới.**

Trước hết chứng minh quy nạp $u_n>4$ với mọi $n$:
- $u_1=5>4$.
- Nếu $u_n>4$ thì $u_{n+1}=\frac{5u_n+4}{u_n+2}=5-\frac{6}{u_n+2}>5-\frac{6}{4+2}=4$.

Vậy $u_n>4$ với mọi $n$, tức dãy bị chặn dưới bởi $4$.

Xét hiệu:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{5u_n+4-u_n^2-4u_n}{u_n+2}=\frac{-(u_n-4)(u_n+1)}{u_n+2}.$$
Vì $u_n>4$ nên $u_n-4>0$, $u_n+1>0$, $u_n+2>0$, suy ra $u_{n+1}-u_n<0$. Vậy dãy $(u_n)$ giảm.

**b) Tính $\lim \left(v_n+\frac{n}{5}\right)$.**

Ta có:
$$u_{n+1}-4=\frac{5u_n+4-4u_n-8}{u_n+2}=\frac{u_n-4}{u_n+2},$$
$$u_{n+1}+1=\frac{5u_n+4+u_n+2}{u_n+2}=\frac{6(u_n+1)}{u_n+2}.$$
Suy ra
$$\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-4}=6\cdot \frac{u_n+1}{u_n-4}.$$
Đặt $w_n=\frac{u_n+1}{u_n-4}$ thì $w_{n+1}=6w_n$, với $w_1=\frac{6}{1}=6$, do đó $w_n=6^n$.

Từ $\frac{u_n+1}{u_n-4}=6^n$ suy ra $u_n=\frac{4\cdot 6^n+1}{6^n-1}$, nên
$$u_n-4=\frac{4\cdot 6^n+1-4(6^n-1)}{6^n-1}=\frac{5}{6^n-1}\Rightarrow \frac{1}{u_n-4}=\frac{6^n-1}{5}.$$

Do đó
$$v_n=\frac{1}{5}\sum _{k=1}^n(6^k-1)=\frac{1}{5}\left(\frac{6^{n+1}-6}{5}-n\right)=\frac{6^{n+1}-6}{25}-\frac{n}{5}.$$
Vậy
$$v_n+\frac{n}{5}=\frac{6^{n+1}-6}{25}\underset{n\to \infty }{\to }+\infty .$$

Kết luận: $\lim \left(v_n+\frac{n}{5}\right)=+\infty$.