Cho tứ diện $OABC$ có $OA=OB=OC=a$, $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=60^{\circ }$, $\widehat{BOC}=90^{\circ }$. Điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $MC=2MB$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $OC$.

Cho tam giác $ABC$ không vuông, thỏa mãn điều kiện: $\tan A,\tan B,\tan C$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc $B$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+2}\end{array}$ ($\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính tổng $S=u_1^2+u_2^2+u_3^2+\cdots +u_{2025}^2$.

Có sáu tấm thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số của tập $E=\{1;2;3;4;6;8\}$ (hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ tâm $O$ cạnh có độ dài bằng 1. Gọi $M,P$ là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh $A{A}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $AM=\frac{3}{4}A{A}^{\prime }$, $CP=\frac{1}{4}C{C}^{\prime }$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi đi qua $M,P$ đồng thời cắt hai cạnh $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $N$ và $Q$. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $4{\cos }^{3}x-\cos 2x+(m-3)\cos x=1$ có đúng 8 nghiệm phân biệt trong đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=6\\ u_{n+1}=u_n+1+\sqrt{4u_n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}.$$ Tìm $u_{2026}$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=5\\ u_{n+1}=\frac{5u_n+4}{u_n+2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}.$$
a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới.
b) Với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta kí hiệu $v_n=\frac{1}{u_1-4}+\frac{1}{u_2-4}+\cdots +\frac{1}{u_n-4}$. Tìm $\lim \left(v_n+\frac{n}{5}\right)$.

Cho tập hợp $X=\{1;2;3;4;5;6;7\}$, và lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Ta đặt ngẫu nhiên các chữ số trong tập $X$ vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số (hai vị trí khác nhau được đặt hai số khác nhau). Tính xác suất để số nằm ở tâm $O$ là một số lẻ và tổng 3 số ở 3 vị trí thẳng hàng luôn bằng nhau.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$; các mặt bên $SAB,SAC$ là các tam giác vuông đỉnh $A$ và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Trên cạnh $SA$ lấy điểm $I$ sao cho $AI=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$.
a) Chứng minh rằng đường thẳng $GI$ song song với mặt phẳng $(SBC)$.
b) Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $AB$ (với $M$ không trùng với $A$ và $B$). Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với các đường thẳng $SA$ và $BC$. Mặt phẳng $(P)$ và các mặt của hình chóp cắt nhau tạo thành tứ giác $MNPQ$ ($N\in AC,P\in SC,Q\in SB$). Kí hiệu $S_{MNPQ},S_{AMN}$ lần lượt là diện tích tứ giác $MNPQ$, diện tích tam giác $AMN$. Tìm vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ để tổng $S_{MNPQ}+S_{AMN}$ đạt giá trị lớn nhất.