Cho tập hợp $X=\{1;2;3;4;5;6;7\}$, và lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$. Ta đặt ngẫu nhiên các chữ số trong tập $X$ vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số (hai vị trí khác nhau được đặt hai số khác nhau). Tính xác suất để số nằm ở tâm $O$ là một số lẻ và tổng 3 số ở 3 vị trí thẳng hàng luôn bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Có 7 vị trí (6 đỉnh và tâm O), đặt 7 số phân biệt: tổng số cách là $7!=5040$.

Ba vị trí thẳng hàng là ba đường kính: $AOD$, $BOE$, $COF$. Gọi $s$ là số ở tâm $O$, mỗi đường kính có tổng $s+$ (tổng cặp hai đỉnh đối diện). Để ba tổng bằng nhau thì ba cặp số ở ba đường kính phải có cùng tổng $T$, tức 6 số còn lại chia thành 3 cặp bằng tổng. Tổng 6 số còn lại là $28-s=3T$, nên $28-s\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Với $s$ lẻ: $s=1\Rightarrow T=9$; $s=3\Rightarrow 25$ không chia hết; $s=5\Rightarrow 23$ không chia hết; $s=7\Rightarrow T=7$.

- $s=1$: 6 số còn lại $\{2;3;4;5;6;7\}$, các cặp tổng 9: $(2,7),(3,6),(4,5)$ — duy nhất một cách ghép cặp. Phân phối 3 cặp vào 3 đường kính: $3!$ cách; mỗi đường kính hoán vị 2 số: $2^3$ cách. Số cách: $3!\cdot 2^3=48$.
- $s=7$: 6 số còn lại $\{1;2;3;4;5;6\}$, các cặp tổng 7: $(1,6),(2,5),(3,4)$ — duy nhất. Tương tự có 48 cách.

Số trường hợp thuận lợi: $48+48=96$. Xác suất: $P=\frac{96}{5040}=\frac{2}{105}$.