Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=6\\ u_{n+1}=u_n+1+\sqrt{4u_n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}.$$ Tìm $u_{2026}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=6$, $u_2=6+1+\sqrt{25}=12$, $u_3=12+1+\sqrt{49}=20$, $u_4=20+1+\sqrt{81}=30$. Suy ra dự đoán $u_n=(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$. Kiểm tra bằng quy nạp: nếu $u_n=n^2+3n+2$ thì $\sqrt{4u_n+1}=\sqrt{4n^2+12n+9}=2n+3$, do đó $u_{n+1}=u_n+1+(2n+3)=n^2+3n+2+2n+4=(n+1{)}^2+3(n+1)+2$, đúng công thức với $n+1$. Vậy $u_n=(n+1)(n+2)$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Do đó $u_{2026}=2027\cdot 2028=4110756$.