Tìm số nghiệm của phương trình ${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)-\cos x=\frac{1}{2}$ trong đoạn $[-3\pi ;4\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{3\pi }{4}-x\right)=\cos \frac{3\pi }{4}\cos x+\sin \frac{3\pi }{4}\sin x=\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}$, nên ${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2}{2}=\frac{1-\sin 2x}{2}$.

Phương trình trở thành: $\frac{1-\sin 2x}{2}-\cos x=\frac{1}{2}\iff -\frac{\sin 2x}{2}=\cos x\iff \sin 2x=-2\cos x$.

Với $\sin 2x=2\sin x\cos x$: $2\cos x(\sin x+1)=0\iff \cos x=0$ hoặc $\sin x=-1$.

- $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Trong đoạn $[-3\pi ;4\pi ]$: $x\in \left\{-\frac{5\pi }{2},-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2}\right\}$ — 7 nghiệm.
- $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$: cho $x=-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$, đã nằm trong tập trên (không thêm nghiệm mới).

Vậy phương trình có 7 nghiệm trong đoạn $[-3\pi ;4\pi ]$.