Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+2}\end{array}$ ($\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính tổng $S=u_1^2+u_2^2+u_3^2+\cdots +u_{2025}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n^2$. Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}^2=3u_n^2+2$ ta được $v_{n+1}=3v_n+2$, với $v_1=1$. Đây là dãy cấp số nhân loại $v_{n+1}+1=3(v_n+1)$, với $v_1+1=2$, nên $v_n+1=2\cdot 3^{n-1}$, tức $u_n^2=2\cdot 3^{n-1}-1$. Khi đó: $$S=\sum _{n=1}^{2025}{u}_n^2=2\sum _{n=1}^{2025}{3}^{n-1}-2025=2\cdot \frac{3^{2025}-1}{3-1}-2025=3^{2025}-1-2025=3^{2025}-2026.$$ Vậy $S=3^{2025}-2026$.