Cho đường tròn $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=10$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :x+3y-16=0$ tại $A(4;4)$. Tính $\frac{a}{b}$ biết rằng giá trị của $b<5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;b)$ nằm trên đường vuông góc với $\Delta$ tại $A(4;4)$, có VTCP là VTCP của pháp tuyến $\Delta$: $(1;3)$. Suy ra $I=(4+t;4+3t)$. Bán kính $R=IA=|t|\sqrt{1^2+3^2}=|t|\sqrt{10}=\sqrt{10}$ nên $t=\pm 1$. Với $t=1$: $b=7>5$ (loại). Với $t=-1$: $I=(3;1)$, thỏa $b=1<5$. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{3}{1}=3$. Kiểm tra: $d(I,\Delta )=\frac{|3+3-16|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}=R$, đúng tiếp xúc tại $A$.