Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
(Lời giải do AI cung cấp, không có lời giải in trong đề)
Tham số hóa điểm $C$ trên $(P):y^2=4x$ dưới dạng $C(t^2;2t)$ với $t\in \mathbb{R}$. Cách viết này bao trùm cả hai nhánh của parabol: với $t\ge 0$ ta được nhánh $y=2\sqrt{x}$, với $t\le 0$ ta được nhánh $y=-2\sqrt{x}$ (vì $y=2t$ mang dấu của $t$), nên không bỏ sót điểm nào trên $(P)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=(t^2;2t+4)$. Diện tích tam giác $ABC$:
$$S=\frac{1}{2}\left|\det \left(\begin{array}{cc}-6& 8\\ t^2& 2t+4\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|-6(2t+4)-8t^2\right|=\frac{1}{2}\left(8t^2+12t+24\right)=4t^2+6t+12.$$
Vì $8t^2+12t+24=8{\left(t+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{55}{2}>0$ với mọi $t$ nên bỏ được dấu giá trị tuyệt đối. Hàm số $f(t)=4t^2+6t+12$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-\frac{6}{2\cdot 4}=-\frac{3}{4}$, với $S_{\min }=4\cdot \frac{9}{16}-\frac{9}{2}+12=\frac{55}{4}$.
Khi đó $C\left({\left(-\frac{3}{4}\right)}^2;2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right)=C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$. Kiểm tra: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}$, nên $C\in (P)$ (điểm này thuộc nhánh dưới $y=-2\sqrt{x}$, đã được bao gồm trong tham số hóa).
Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$ và $S_{\min }=\frac{55}{4}$.