Cho góc $a$ thỏa mãn $3\pi <a<\frac{7\pi }{2}$ và $\tan a=5$.

a) Tính $\sin a;\cos a;\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$.

b) Tính $\sin 2a;\cos 2a;\sin 3a;\tan 3a$.

c) Tính $\sin \left(2a-\frac{2023\pi }{2}\right)+\cos (2a+2023\pi )$.

d) Tính $\sin \frac{a}{2};\cos \frac{a}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $3\pi <a<\frac{7\pi }{2}$ nên $a$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin a<0,\cos a<0$. Với $\tan a=5$ và ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ ta được $\sin a=-\frac{5}{\sqrt{26}},\cos a=-\frac{1}{\sqrt{26}}$.

a) $\sin a=-\frac{5\sqrt{26}}{26};\cos a=-\frac{\sqrt{26}}{26}$.

$\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{5\pi }{6}+\cos a\sin \frac{5\pi }{6}=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}-1}{2\sqrt{26}}$.

b) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{5}{26}=\frac{5}{13}$.

$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{1-25}{26}=-\frac{12}{13}$.

$\sin 3a=3\sin a-4{\sin }^{3}a=\sin a(3-4{\sin }^{2}a)=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(3-\frac{100}{26}\right)=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(-\frac{11}{13}\right)=\frac{55}{13\sqrt{26}}=\frac{55\sqrt{26}}{338}$.

$\tan 3a=\frac{3\tan a-{\tan }^{3}a}{1-3{\tan }^{2}a}=\frac{15-125}{1-75}=\frac{-110}{-74}=\frac{55}{37}$.

c) Vì $\frac{2023\pi }{2}=1011\pi +\frac{\pi }{2}$ nên
$\sin \left(2a-\frac{2023\pi }{2}\right)=\sin \left(2a-\frac{\pi }{2}-1011\pi \right)=-\sin \left(2a-\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2a=-\frac{12}{13}$.

$\cos (2a+2023\pi )=-\cos 2a=\frac{12}{13}$.

Vậy $\sin \left(2a-\frac{2023\pi }{2}\right)+\cos (2a+2023\pi )=-\frac{12}{13}+\frac{12}{13}=0$.

d) Ta có $\frac{3\pi }{2}<\frac{a}{2}<\frac{7\pi }{4}$ nên $\frac{a}{2}$ thuộc góc phần tư thứ IV: $\sin \frac{a}{2}<0,\cos \frac{a}{2}>0$.

$\cos \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}}$; $\sin \frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}}$.

Kiểm tra: ${\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}=1$ ✓ và $2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=-\frac{5}{\sqrt{26}}=\sin a$ ✓. Lời giải đã sửa lỗi $\cos 2a=-\frac{12}{13}$ (không phải $-\frac{6}{13}$) và các giá trị trung gian ở mục c) tương ứng.