Cho góc $a$ thỏa mãn $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ và $\tan a=5$.
1. Tính $\sin a;\cos a;\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$.
2. Tính $\sin 2a;\cos 2a$.
3. Tính $\sin \frac{a}{2};\cos \frac{a}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên $a$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\sin a<0$, $\cos a<0$. Với $\tan a=5$: $\frac{1}{{\cos }^{2}a}=1+{\tan }^{2}a=26\Rightarrow \cos a=-\frac{1}{\sqrt{26}}=-\frac{\sqrt{26}}{26}$; $\sin a=\tan a\cdot \cos a=-\frac{5}{\sqrt{26}}=-\frac{5\sqrt{26}}{26}$.

1) $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{5\pi }{6}+\cos a\sin \frac{5\pi }{6}=\left(-\frac{5\sqrt{26}}{26}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt{26}}{26}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{26}\left(5\sqrt{3}-1\right)}{52}$.

(Lưu ý: đề viết $\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$ nhưng theo ngữ cảnh là $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)$.)

2) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{5\sqrt{26}}{26}\cdot \frac{\sqrt{26}}{26}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$ (đúng dấu dương vì $2a\in (2\pi ,3\pi )$).
$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{1}{26}-\frac{25}{26}=-\frac{12}{13}$.

3) Vì $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\frac{3\pi }{4}$ nên $\sin \frac{a}{2}>0$, $\cos \frac{a}{2}<0$.
$\sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\sqrt{\frac{26-\sqrt{26}}{52}}$.
$\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=-\sqrt{\frac{26+\sqrt{26}}{52}}$.