Cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$. Giá trị của $m$ bằng bao nhiêu để góc giữa hai đường thẳng trên bằng $45^{\circ }$ ?

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$) và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;m)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa $$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}.$$ Với $\theta =45^{\circ }$ thì $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó $$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟺|2+m|=\sqrt{4+m^2}.$$ Bình phương hai vế: $(2+m{)}^2=4+m^2⟺4+4m+m^2=4+m^2⟺4m=0⟺m=0.$ Thử lại: với $m=0$, ${\Delta }_2:2x+2026=0$ là đường thẳng đứng, ${\Delta }_1$ có hệ số góc $-1$ (nghiêng $135^{\circ }$), góc giữa chúng đúng bằng $45^{\circ }$. Vậy $m=0$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1354: 0).