Cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$. Giá trị của $m$ bằng bao nhiêu để góc giữa hai đường thẳng trên bằng $45^{\circ }$?

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+y-2025=0$ (vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;1)$) và ${\Delta }_2:2x+my+2026=0$ (vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(2;m)$). Góc giữa hai đường thẳng thỏa $$\cos 45^{\circ }=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|2+m|}{\sqrt{2}\sqrt{4+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ Suy ra $\frac{|m+2|}{\sqrt{4+m^2}}=1$, bình phương hai vế: $(m+2{)}^2=m^2+4\Rightarrow m^2+4m+4=m^2+4\Rightarrow 4m=0\Rightarrow m=0$. Kiểm tra: với $m=0$, ${\vec{n}}_2=(2;0)$, $\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng góc $45^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 3267: 0).