Cho hai số thực dương $a,b$. Rút gọn biểu thức $A=\frac{a^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{b}+b^{\frac{1}{4}}\sqrt[3]{a}}{\sqrt[12]{a}+\sqrt[12]{b}}$ ta thu được $A=a^m.b^n$. Tích của $m.n$ là

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x=\sqrt[12]{a}$, $y=\sqrt[12]{b}$. Khi đó $a^{1/4}=x^3$, $\sqrt[3]{b}=y^4$, $b^{1/4}=y^3$, $\sqrt[3]{a}=x^4$. Tử số: $x^3{y}^4+y^3{x}^4=x^3{y}^3(x+y)$. Mẫu số: $x+y$. Vậy $A=x^3{y}^3=a^{1/4}{b}^{1/4}$, tức $m=n=\frac{1}{4}$, nên $m.n=\frac{1}{16}$. (Kiểm tra: với $a=b$ thì $A=a^{1/2}$, đúng.)