Cho hai số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $x^2+y^2=2$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2(x^3+y^3)-3xy$. Giá trị của $M+m$ bằng

Đặt $S=x+y$ và $P^{\prime }=xy$. Vì $x^2+y^2=2$ nên:
$S^2-2P^{\prime }=2\Rightarrow P^{\prime }=\frac{S^2-2}{2}$

Điều kiện để tồn tại $x,y$ là $S^2\ge 4P^{\prime }\iff S^2\ge 2(S^2-2)=2S^2-4\iff S^2\le 4\iff -2\le S\le 2$.

Biểu thức $P$ viết theo $S$:
$P=2(x+y)(x^2-xy+y^2)-3xy=2S(2-P^{\prime })-3P^{\prime }$
$=2S\left(2-\frac{S^2-2}{2}\right)-3\left(\frac{S^2-2}{2}\right)=2S\left(3-\frac{S^2}{2}\right)-\frac{3}{2}{S}^2+3=-S^3-\frac{3}{2}{S}^2+6S+3$

Xét hàm số $f(S)=-S^3-\frac{3}{2}{S}^2+6S+3$ trên $[-2;2]$:
$f^{\prime }(S)=-3S^2-3S+6=-3(S^2+S-2)=-3(S-1)(S+2)$
$f^{\prime }(S)=0\iff S=1$ hoặc $S=-2$.

Tính giá trị tại các điểm biên và điểm tới hạn:
- $f(-2)=-(-8)-\frac{3}{2}(4)+6(-2)+3=8-6-12+3=-7$;
- $f(1)=-1-\frac{3}{2}+6+3=\frac{13}{2}$;
- $f(2)=-8-6+12+3=1$.

Do đó:
- $M=\max f(S)=\frac{13}{2}$ (đạt tại $S=1$);
- $m=\min f(S)=-7$ (đạt tại $S=-2$).

Vậy giá trị $M+m$ bằng:
$M+m=\frac{13}{2}+(-7)=-\frac{1}{2}$