Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=a,AD=2a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,CD$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $A(0;0;0)$:
- Tia $AB$ trùng tia $Ox$, tia $AD$ trùng tia $Oy$, tia $AS$ trùng tia $Oz$.
- Các tọa độ điểm:
+ $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),S(0;0;a)$;
+ Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $BC=a$ nên $C(a;a;0)$;
+ $M$ là trung điểm $SB\Rightarrow M\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right)$;
+ $N$ là trung điểm $CD\Rightarrow N\left(\frac{a}{2};\frac{3a}{2};0\right)$.

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng $MN$:
$\overrightarrow{MN}=\left(0;\frac{3a}{2};-\frac{a}{2}\right)=\frac{a}{2}(0;3;-1)$
Chọn $\vec{u}=(0;3;-1)$, có độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{0^2+3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$.

Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $A(0;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a)$:
- $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{AS}=(0;0;a)$;
- Véc tơ pháp tuyến của $(SAC)$ là $\vec{n}=(1;-1;0)$, có độ dài $|\vec{n}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}=\sqrt{2}$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$, ta có:
$\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|0\cdot 1+3(-1)+(-1)\cdot 0|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{20}}=\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}$