Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây:

$x$	$-\infty$		$0$		$4$		$+\infty$
$y^{\prime }$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	$+\infty$	↘			$5$	↘
			$-3$	↗			$-\infty$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f nghịch biến trên (-∞;0) và (4;+∞), đồng biến trên (0;4); f(0)=-3 (cực tiểu), f(4)=5 (cực đại). a) Trên (3;5): f đồng biến trên (3;4) và nghịch biến trên (4;5) nên không nghịch biến trên cả khoảng → sai. b) f' đổi dấu từ + sang - duy nhất tại x=4 → đúng 1 điểm cực đại → đúng. c) f(x)-5=0 chỉ khi x=4 (vì 5 là giá trị lớn nhất, chỉ đạt tại x=4). Tại x=4, mẫu số f(x)-5 ≈ (f”(4)/2)(x-4)² nên g(x)=(x-4)/(f(x)-5) ≈ 2/(f”(4)(x-4)) → ∞, tức x=4 là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị chỉ có đúng 1 tiệm cận đứng (cộng tiệm cận ngang y=0) → phát biểu 'đúng 2 tiệm cận đứng' sai. d) Với f'=kx(x-4), từ f(4)-f(0)=8: k∫₀⁴x(x-4)dx = -32k/3 = 8 → k=-3/4, nên f(x)=-x³/4+(3/2)x²-3, f(3)=15/4. Đặt t=4x-x², trên [1;3] thì t∈[3;4]⊂(0;4) nên f'(t)>0. h'(x)=f'(t)(4-2x)+x²-6x+8 = (4-2x)[f'(t)+(4-x)/2]; vì f'(t)>0 và (4-x)/2>0 trên [1;3] nên dấu h' theo dấu (2-x): h đồng biến trên [1;2], nghịch biến trên [2;3], min tại đầu mút. h(1)=f(3)+17/3=113/12≈9,42; h(3)=f(3)+19/3=121/12. Vậy min g = 113/12 ≠ 12 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên (0;4) nên trên (3;4) hàm đồng biến, không nghịch biến trên cả (3;5).
b) (AI giải đề cho tôi)
f' đổi dấu + → - duy nhất tại x=4, chỉ có 1 điểm cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=5 chỉ tại x=4; tại đó tử số cũng triệt tiêu nhưng bậc mẫu cao hơn (f(x)-5 ~ C(x-4)²) nên x=4 vẫn là tiệm cận đứng, và là tiệm cận đứng duy nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=-x³/4+(3/2)x²-3, f(3)=15/4; h'(x)=(4-2x)[f'(4x-x²)+(4-x)/2] đổi dấu tại x=2, min tại x=1: g(1)=113/12≈9,42 ≠ 12.