Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng 3 cm, diện tích hai đáy lần lượt bằng 72 cm${}^2$ và 18 cm${}^2$. Gọi $I$, $O$ tương ứng là tâm của hai đáy $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, với đơn vị trên mỗi trục là cm sao cho tia $Ox$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{O{D}^{\prime }}$, tia $Oy$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{O{C}^{\prime }}$, tia $Oz$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OI}$ (như hình vẽ).

a) Đúng: Diện tích hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $72c{m}^2$ suy ra cạnh hình vuông bằng $6\sqrt{2}\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=12\Rightarrow B^{\prime }(-6;0;0)$, suy ra $D^{\prime }(6;0;0)$.

b) Đúng: Diện tích hình vuông $ABCD$ bằng $18c{m}^2$ suy ra cạnh hình vuông bằng $3\sqrt{2}\Rightarrow AC=BD=6\Rightarrow C(0;3;3)$, $D(3;0;3)$, nên $(ABCD):z=3$.

c) Sai: $C^{\prime }(0;6;0)$, $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }C}\right]=(18;-18;0)$, mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }):x-y+6=0$, $d\left(O,(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\right)=\frac{|6|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ cm.

d) Đúng: $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\right]=(-9;-9;-9)$, $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^{\circ }$.
a) Diện tích hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $72c{m}^2$ suy ra cạnh hình vuông bằng $6\sqrt{2}\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=12\Rightarrow B^{\prime }(-6;0;0)$, do đó $D^{\prime }(6;0;0)$.
b) Diện tích hình vuông $ABCD$ bằng $18c{m}^2$ suy ra cạnh hình vuông bằng $3\sqrt{2}\Rightarrow AC=BD=6\Rightarrow C(0;3;3)$, $D(3;0;3)$, nên mặt phẳng $(ABCD)$ là $z=3$.
c) $C^{\prime }(0;6;0)$. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }C}\right]=(18;-18;0)$. Phương trình mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $x-y+6=0$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $d\left(O,(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\right)=\frac{|6|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ cm, không phải $3\sqrt{3}$ cm.
d) $D(3;0;3)$. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\right]=(-9;-9;-9)$. Ta có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=18.(-9)+(-18).(-9)+0=0\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^{\circ }>71^{\circ }$.