Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x^3-3x^2+m\right)+3=0$ có nghiệm thuộc đoạn $[-1;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f$ đạt cực đại $f(0)=1$, cực tiểu $f(2)=-3$, và $f(-1)=-3$; đồ thị qua các điểm này cho $f(x)=x^3-3x^2+1$ (kiểm tra: $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(-1)=-3$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$ đúng cực trị). Đặt $t=x^3-3x^2+m$. Phương trình $f(t)+3=0\iff t^3-3t^2+4=0\iff (t+1)(t-2{)}^2=0\iff t\in \{-1;2\}$. Với $x\in [-1;2]$, đặt $g(x)=x^3-3x^2$, $g^{\prime }(x)=3x(x-2)$ nên trên $[-1;2]$, $g$ giảm từ $g(-1)=-4$ đến $g(0)=0$ rồi giảm xuống $g(2)=-4$; vậy $g(x)\in [-4;0]$.
- Trường hợp $t=-1$: cần $g(x)=-1-m\in [-4;0]\iff m\in [-1;3]$.
- Trường hợp $t=2$: cần $g(x)=2-m\in [-4;0]\iff m\in [2;6]$.
Hợp: $m\in [-1;6]$, các giá trị nguyên: $-1,0,1,2,3,4,5,6$ — tất cả $8$ giá trị. Đáp án B.