Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Gọi $O$ là trung điểm của $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $D(2a;0;0)$, $B\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$ (đáy là hình thang cân, $AD\parallel BC$, chiều cao đáy $\frac{a\sqrt{3}}{2}$). Diện tích đáy $S=\frac{a+2a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$. Ta có $AC=\sqrt{\frac{9a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}=a\sqrt{3}$; góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$ nên $A{A}^{\prime }=AC\tan 45^{\circ }=a\sqrt{3}$.

a) Mặt bên là hình chữ nhật $a\times a\sqrt{3}$, không phải hình vuông → sai.

b) $V=S\cdot A{A}^{\prime }=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{9a^3}{4}$ → đúng.

c) Với $O(a;0;0)$: $\overrightarrow{OC}=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\sqrt{3}\right)$, $\vec{n}=\overrightarrow{OC}\times \overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\left(\frac{3a^2}{2};-\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2};\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}\right)$. $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=\frac{3a^3}{4}-\frac{3a^3}{4}=0$ nên $AB\parallel (B^{\prime }CO)$, và $\overrightarrow{OB}\cdot \vec{n}\ne 0$ nên $B\notin (B^{\prime }CO)$. Vì $B^{\prime }C\subset (B^{\prime }CO)$ nên $d(AB,B^{\prime }C)=d(B,(B^{\prime }CO))$ → đúng.

d) $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};-a\sqrt{3}\right)$, mặt phẳng $(P)$ qua $B$ vuông góc $A^{\prime }C$: $3x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}z=3a$. Thiết diện: $(P)$ cắt $B^{\prime }C$ tại $E\left(\frac{7a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$ (kiểm tra: $3\cdot \frac{7a}{6}+\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{7a}{2}+\frac{3a}{2}-2a=3a$ ✓, và $E\in B^{\prime }C$ với $t=\frac{2}{3}$ ✓), cắt $C{C}^{\prime }$ tại $F\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$, cắt $D{D}^{\prime }$ tại $G\left(2a;0;\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$, cắt $AD$ tại $H(a;0;0)$; thiết diện là ngũ giác $BEFGH$.

Thể tích khối chứa $C,D$: tích phân trên đáy tứ giác $HDBC$ (với mỗi $y\in \left[0,\frac{a\sqrt{3}}{2}\right]$, $x$ chạy từ $a-\frac{y}{\sqrt{3}}$ đến $2a-\frac{y}{\sqrt{3}}$, bề rộng $a$) của chiều cao $z=\frac{3x+\sqrt{3}y-3a}{2\sqrt{3}}$:
$$V_{CD}={\int }_0^{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\int }_0^a\frac{3u}{2\sqrt{3}}dudy=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3a^2}{4\sqrt{3}}=\frac{3a^3}{8}.$$
Khối chứa đỉnh $A$: $V=\frac{9a^3}{4}-\frac{3a^3}{8}=\frac{15a^3}{8}$ → đúng.

Kết luận: a) sai; b) đúng; c) đúng; d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao lăng trụ $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}\ne a=AB$, mặt bên là hình chữ nhật $a\times a\sqrt{3}$, không phải hình vuông.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{ABCD}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$, nên $V=\frac{9a^3}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\perp \vec{n}$ của $(B^{\prime }CO)$ nên $AB\parallel (B^{\prime }CO)$, $B\notin (B^{\prime }CO)$, và $B^{\prime }C\subset (B^{\prime }CO)$, do đó $d(AB,B^{\prime }C)=d(B,(B^{\prime }CO))$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$: $3x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}z=3a$, thiết diện ngũ giác $BEFGH$ với $E\left(\frac{7a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$. Khối chứa $C,D$ có thể tích $\frac{3a^3}{8}$ (tính bằng tích phân hoặc phân tích khối chóp), nên khối chứa $A$ có thể tích $\frac{9a^3}{4}-\frac{3a^3}{8}=\frac{15a^3}{8}$.