Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD=2BC$, $A{D}^2+A{B}^2=100$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB,SD$. Mặt phẳng $(AMN)$ tạo với mặt phẳng đáy góc $\alpha$ cố định. Tính $\tan \alpha$ biết giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng 25.

(AI giải đề cho tôi)
Dựng hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(b;0;0)$, $D=(0;2x;0)$ với $BC=x$, $AD=2x$ (đáy là hình thap vuông tại $A,B$, $AD\parallel BC$), $S=(0;0;h)$ với $h=SA$. Ràng buộc: $A{D}^2+A{B}^2=4x^2+b^2=100$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{3x}{2}b$, nên $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3xb}{2}\cdot h=\frac{xbh}{2}$.
Ta có $x^2{b}^2=x^2(100-4x^2)$ đạt max khi $x^2=12,5$, khi đó $x^2{b}^2=12,5\cdot 50=625\Rightarrow xb=25$.
Vậy $V_{\max }=\frac{25h}{2}=25\Rightarrow h=SA=2$.

Hình chiếu: $M$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $SB$ (tam giác $SAB$ vuông tại $A$):
$$M=\left(\frac{b{h}^2}{b^2+h^2};0;\frac{b^{2}h}{b^2+h^2}\right).$$
Tương tự $N$ chân vuông góc từ $A$ xuống $SD$:
$$N=\left(0;\frac{2x{h}^2}{4x^2+h^2};\frac{4x^{2}h}{4x^2+h^2}\right).$$
Vectơ pháp tuyến của $(AMN)$ (qua gốc $A$): $\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AN}$ có thành phần:
$$\vec{n}=\left(-\frac{2x{b}^2{h}^3}{PQ};-\frac{4x^{2}b{h}^3}{PQ};\frac{2xb{h}^4}{PQ}\right),$$
với $P=b^2+h^2,Q=4x^2+h^2$.

Góc $\alpha$ giữa $(AMN)$ và đáy:
$${\cos }^2\alpha =\frac{n_z^2}{|\vec{n}{|}^2}=\frac{4x^2{b}^2{h}^8}{4x^2{b}^2{h}^6\left(b^2+4x^2+h^2\right)}=\frac{h^2}{100+h^2},$$
(vì $b^2+4x^2=100$). Suy ra $\tan \alpha =\frac{10}{h}$.

Với $h=2$: $\tan \alpha =\frac{10}{2}=5$.