Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ có đồ thị $(C)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$ (với $x\ne -2$), nên $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, tức $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$ và $x=-1$.

a) Trên khoảng $(-3;-1)$, $(x+1)(x+3)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$: hàm số nghịch biến trên khoảng này. Đúng.

b) Tiệm xiên của $(C)$ là $y=x+2$, cắt $Ox$ tại $(-2;0)$ và cắt $Oy$ tại $(0;2)$, tạo tam giác vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông đều bằng $2$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Đúng.

c) Với $x$ nguyên, $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ nguyên khi $x+2=\pm 1$, tức $x=-1,y=2$ và $x=-3,y=-2$. Vậy $(C)$ chỉ có hai điểm có tọa độ nguyên: $(-1;2)$ và $(-3;-2)$. Đường thẳng cắt $(C)$ tại các điểm có tọa độ nguyên phải đi qua cả hai điểm này, cho đúng một đường thẳng $y=2x+4$ (kiểm tra: $2x+4=x+2+\frac{1}{x+2}\iff (x+2{)}^2=1\iff x=-1$ hoặc $x=-3$). Đúng.

d) Với $y=f(\sin x)$, ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(\sin x)\cos x$. Vì $f^{\prime }(u)=\frac{(u+1)(u+3)}{(u+2{)}^2}\ge 0$ với $u\in [-1;1]$, $f^{\prime }(\sin x)=0$ chỉ khi $\sin x=-1$ (trường hợp $\sin x=-3$ vô nghiệm), và các điểm này đã nằm trong trường hợp $\cos x=0$. Vậy $y^{\prime }=0\iff \cos x=0$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Trên $(-10\pi ;10\pi )$ có 20 điểm như vậy, và tại mỗi điểm $y^{\prime }$ đổi dấu (do $\cos x$ đổi dấu), nên hàm số có 20 điểm cực trị, không phải 10. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}<0$ trên $(-3;-1)$ nên hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm xiên $y=x+2$ cắt hai trục tại $(-2;0)$ và $(0;2)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(C)$ chỉ có hai điểm nguyên $(-1;2)$ và $(-3;-2)$; đường thẳng qua cả hai điểm là $y=2x+4$, đúng 1 đường thẳng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=f^{\prime }(\sin x)\cos x=0\iff \cos x=0$; trên $(-10\pi ;10\pi )$ có 20 điểm cực trị, không phải 10.