Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng $x$ của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính $R=20$ nên cạnh $s=20\sqrt{2}$, khoảng cách từ tâm đến mỗi cạnh là $d=\frac{s}{2}=10\sqrt{2}$. Mỗi miếng phụ là hình chữ nhật chiều rộng $x$ gắn vào một cạnh của hình vuông, nằm trong hình tròn: nửa chiều dài của nó là $w=\sqrt{400-(d+x{)}^2}$ (với $0<x<20-d$). Diện tích sử dụng: $S=800+8x\sqrt{400-(d+x{)}^2}$. Đặt $t=d+x$, cần max $f(t)=(t-d)\sqrt{400-t^2}$. Bình phương: $f^2=(t-d{)}^2(400-t^2)$, đạo hàm bằng 0 cho $(t-d)(400-2t^2+td)=0$, tức $2t^2-dt-400=0$, nên $t=\frac{d+\sqrt{d^2+3200}}{4}=\frac{10\sqrt{2}+10\sqrt{34}}{4}\approx 18,1129$. Suy ra $x=t-d\approx 18,1129-14,1421=3,9708<20-10\sqrt{2}\approx 5,86$ (thỏa mãn). Vậy $x\approx 3,97$ cm.