Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_3\left(\sqrt{x^2+9}-x\right)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-10;10]$ để phương trình $f\left(m+4.3^{x^2}-3\right)+f\left(-3^{2x^2}\right)=1$ có đúng hai nghiệm phân biệt. Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét quan trọng: $f(x)+f(-x)=\frac{1}{2}{\log }_3\left[(\sqrt{x^2+9}-x)(\sqrt{x^2+9}+x)\right]=\frac{1}{2}{\log }_{3}9=1$, nên $f(-u)=1-f(u)$. Đặt $t=3^{x^2}\ge 1$, khi đó $-3^{2x^2}=-t^2$ và $f(-t^2)=1-f(t^2)$. Phương trình trở thành $f(m+4t-3)=f(t^2)$. Vì $f$ nghịch biến ngặt (do $\sqrt{x^2+9}-x$ nghịch biến) nên f đơn ánh, suy ra $m+4t-3=t^2$, tức $m=t^2-4t+3$ hay $t^2-4t+(3-m)=0$ với $t\ge 1$. Với mỗi nghiệm $t>1$ ta được hai nghiệm $x=\pm \sqrt{{\log }_{3}t}$; với $t=1$ ta được một nghiệm $x=0$. Yêu cầu đúng hai nghiệm $x$ phân biệt: (i) $m=-1$: nghiệm kép $t=2>1$ cho đúng hai nghiệm $x=\pm \sqrt{{\log }_{3}2}$ — thỏa; (ii) $m>-1$: hai nghiệm $t=2\pm \sqrt{1+m}$, cần đúng một nghiệm dương lớn hơn 1 và nghiệm kia nhỏ hơn 1 (không tính $t=1$ vì sinh thêm nghiệm $x=0$). Điều kiện $2-\sqrt{1+m}<1\iff m>0$; khi đó $2+\sqrt{1+m}>2>1$ luôn thỏa. Loại $m=0$ (nghiệm $t=1$ và $t=3$ cho ba nghiệm $x$). Với $-1<m<0$ cả hai nghiệm $t\in (1,2)$ cho bốn nghiệm; $m<-1$ vô nghiệm. Vậy $m\in \{-1\}\cup \{1,2,\dots ,10\}$, tất cả thuộc $[-10;10]$, nên $S$ có $11$ phần tử.