Cho hàm số $f(x)={\log }_2\sqrt{x+\sqrt{x^2+4}}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Với mọi số thực $x$ ta luôn có $f(-x)=1-f(x)$.

$f\left((x+1{)}^4-4x-5\right)+f\left(x^2+6m-m^2-m^4\right)\ge 1$ đúng $\forall x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_2\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)$. Vì $x+\sqrt{x^2+4}=2\cdot \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}$ nên $f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}$. Hàm $g(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}$ lẻ và $g(-x)=1/g(x)$, do đó $f(-x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\log }_{2}g(x)=1-f(x)$ (đúng với mọi $x$).

a) $f(1)=\frac{1}{2}{\log }_2(1+\sqrt{5})\approx \frac{1}{2}{\log }_{2}3,236\approx 0,847<0,9$, nên $x=1$ không thỏa $f(x)>0,9$ → Sai.

b) $f(x)\le 1\iff x+\sqrt{x^2+4}\le 4\iff \sqrt{x^2+4}\le 4-x$ (cần $x\le 4$), bình phương: $x^2+4\le 16-8x+x^2\iff x\le \frac{3}{2}$. Số nguyên dương trong $S$ chỉ có $1$ → Sai.

c) $x+\sqrt{x^2+4}>0$ với mọi $x$ nên $f$ xác định trên $\mathbb{R}$; $x\mapsto x+\sqrt{x^2+4}$ đồng biến (đạo hàm $1+\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}>0$) và ${\log }_2$ đồng biến nên $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ → Đúng.

(d) Vì $f$ đồng biến và $f(-x)=1-f(x)$: $f(A)+f(B)\ge 1\iff f(A)\ge f(-B)\iff A+B\ge 0$ với $A=(x+1{)}^4-4x-5$, $B=x^2+6m-m^2-m^4$. Đặt $t=x+1$: $A+B=t^4+t^2-6t+6m-m^2-m^4$. Giá trị nhỏ nhất của $t^4+t^2-6t$ đạt tại $t=1$ (do $4t^3+2t-6=0\iff t=1$) bằng $-4$. Yêu cầu $\forall x$: $-4+6m-m^2-m^4\ge 0\iff m^4+m^2-6m+4\le 0\iff (m-1{)}^2(m^2+2m+4)\le 0$. Vì $m^2+2m+4>0$ luôn đúng, chỉ còn $(m-1{)}^2\le 0\iff m=1$: đúng 1 giá trị → Đúng.

Khớp đáp án mã 101: 1a S, 1b S, 1c Đ, 1d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=\frac{1}{2}{\log }_2(1+\sqrt{5})\approx 0,847<0,9$ nên $x=1$ không là nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\le 1\iff x\le \frac{3}{2}$; tập số nguyên dương của $S$ là $\{1\}$, chỉ 1 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x+\sqrt{x^2+4}>0$ với mọi $x$ và hàm này đồng biến, hợp với ${\log }_2$ đồng biến nên $f$ xác định và đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương $A+B\ge 0$; với $t=x+1$, min của $t^4+t^2-6t$ là $-4$ tại $t=1$, dẫn đến $(m-1{)}^2(m^2+2m+4)\le 0\iff m=1$: đúng 1 giá trị $m$.