Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh bên bằng 200 m, góc $\widehat{ASB}=15^{\circ }$ bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp $AEFGHIJKLS$. Trong đó điểm $L$ cố định và $LS=40$ m. Hỏi khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? (làm tròn đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các cạnh bên của chóp đều $S.ABCD$ là $SA=SB=SC=SD=200$ m, góc ở đỉnh mỗi mặt bên là $\widehat{ASB}=15^{\circ }$. Đường gấp khúc $AEFGHIJKLS$ đi từ $A$, vòng quanh kim tự tháp, cắt lần lượt các cạnh bên tại $E,F,G,H,I,J,K,L$ (8 điểm) rồi kết thúc tại $L$ với $LS=40$ m.

Trải 4 mặt bên ra cùng một mặt phẳng, xoay quanh đỉnh $S$. Mỗi lần đường gấp khúc vượt qua một cạnh bên, ta trải thêm một tam giác với góc ở đỉnh $15^{\circ }$. Sau 8 lần vượt qua cạnh bên, tổng góc quét được là $8\cdot 15^{\circ }=120^{\circ }$.

Trong mặt phẳng đã trải: $A$ nằm cách $S$ một khoảng $SA=200$, còn ảnh $L^{\prime }$ của điểm $L$ nằm trên tia tạo với tia $SA$ góc $120^{\circ }$ và $S{L}^{\prime }=40$. Độ dài nhỏ nhất của đường gấp khúc từ $A$ đến $L$ là độ dài đoạn thẳng $A{L}^{\prime }$ (đoạn thẳng này cắt tất cả các tia cạnh bên trung gian nên khả thi):
$$A{L}^{\prime }=\sqrt{200^2+40^2-2\cdot 200\cdot 40\cdot \cos 120^{\circ }}=\sqrt{40000+1600+8000}=\sqrt{49600}=40\sqrt{31}\approx 222,71\text{ m}.$$

Cộng thêm đoạn cố định $LS=40$ m, tổng độ dài dây nhỏ nhất là
$$40\sqrt{31}+40=40\left(\sqrt{31}+1\right)\approx 262,71\approx 263\text{ m}.$$

Vậy cần dùng ít nhất khoảng 263 m dây đèn led, khớp với đáp án đã cho (bảng đáp án mã đề 101, Phần III câu 4: 263).