Cho hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và có bảng biến thiên bên dưới

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên $y=mx+n$. Tính tổng $S=m+n$ .

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $a{x}^2+bx+c=(x-1)(ax+a+b)+(a+b+c)$, nên $f(x)=ax+(a+b)+\frac{a+b+c}{x-1}$. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=ax+(a+b)$, tức $m=a$, $n=a+b$.

Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ và $x=3$. Ta có $f^{\prime }(x)=a-\frac{a+b+c}{(x-1{)}^2}$, nên tại $x=-1$ và $x=3$ (cách đều $x=1$ khoảng 2 đơn vị): $(x-1{)}^2=4=\frac{a+b+c}{a}$, suy ra $a+b+c=4a$, tức $b+c=3a$.

Giá trị cực đại: $f(-1)=-a+(a+b)-\frac{a+b+c}{2}=b-2a=-1$.
Giá trị cực tiểu: $f(3)=3a+(a+b)+\frac{a+b+c}{2}=6a+b=7$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}b-2a=-1\\ 6a+b=7\end{array}\Rightarrow 8a=8\Rightarrow a=1$, $b=1$, $c=3a-b=2$.
Kiểm tra: $f(x)=\frac{x^2+x+2}{x-1}=x+2+\frac{4}{x-1}$; $f(-1)=\frac{2}{-2}=-1$ ✓, $f(3)=\frac{14}{2}=7$ ✓.

Vậy $m=a=1$, $n=a+b=2$, do đó $S=m+n=3$. Chọn đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: B).