Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d_1:\sqrt{3}x+y=0$ và $d_2:\sqrt{3}x-y=0$. Gọi $(C)$ là đường tròn tiếp xúc với $d_1$ tại A, cắt $d_2$ tại hai điểm $B,C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Viết phương trình của $(C)$, biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và điểm $A$ có hoành độ dương.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A=(t,-\sqrt{3}t)$ trên $d_1:\sqrt{3}x+y=0$ với $t>0$ (hoành độ dương). Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $BC\subset d_2$ nên $AB\perp d_2$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $d_2$ cắt $d_2$ tại $B=\left(-\frac{t}{2},-\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)$, và $AB=d(A,d_2)=\frac{|2\sqrt{3}t|}{2}=\sqrt{3}t$.

Tâm $I$ nằm trên đường vuông góc với $d_1$ tại $A$, tức $I=A-r\cdot \frac{(\sqrt{3},1)}{2}$ (xét phía phù hợp). Từ $|IB|=r$ ta được $3t^2+\sqrt{3}tr=r^2$ với $I=A-\sqrt{3}t\cdot \frac{(\sqrt{3},1)}{2}$, cho $I=\left(-\frac{t}{2},-\frac{3\sqrt{3}t}{2}\right)$, bán kính $r=\sqrt{3}t$.

Gọi $C=B+s\cdot \frac{(1,\sqrt{3})}{2}$ (vì $C\in d_2$), điều kiện $C\in (C)$: $\frac{s^2}{4}+\frac{3(2t+s{)}^2}{4}=3t^2\Rightarrow 4s^2+12ts=0\Rightarrow s=-3t$ (loại $s=0$).

Diện tích: $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}t\cdot 3t=\frac{3\sqrt{3}{t}^2}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow t^2=\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra $A=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},-1\right)$ (hoành độ dương ✓), $I=\left(-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{3}{2}\right)$, $r=1$.

Kiểm tra: $B=\left(-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{1}{2}\right)$, $C=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},-2\right)$; $\overrightarrow{BA}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$, tích vô hướng $=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=0$ (vuông tại $B$ ✓); diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.

Phương trình đường tròn: ${\left(x+\frac{\sqrt{3}}{6}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=1$, khớp với đáp án B (đúng như đáp án chính thức, mã đề 101).