Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$2$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	↗	$2$	↘	$-\infty$	$+\infty$	↘	$6$	↗ $+\infty$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng x=1 nên d=-1; f(0)=2 nên c=-2; f(2)=6 nên 4a+2b-2=6 ⇒ 2a+b=4. f'(0)=0: f'(x)=[(2ax+b)(x+d)-(ax²+bx+c)]/(x+d)², tại x=0: -b+2=0 ⇒ b=2, a=1. Vậy f(x)=(x²+2x-2)/(x-1). Kiểm tra: f(0)=2, f(2)=6 đúng.
a) Sai: f'(x)<0 trên (0;1) và (1;2) nhưng hàm không xác định tại x=1 (tiệm cận đứng), nên không nghịch biến trên toàn khoảng (0;2).
b) Đúng: cực đại f(0)=2, cực tiểu f(2)=6, tích 2·6=12.
c) Sai: a+b+c+d=1+2-2-1=0≠2.
d) Đúng: với x>1 thì y=f(x)≥6>0, tổng khoảng cách tới hai trục là S=x+y=x+(x²+2x-2)/(x-1)=(2x²+x-2)/(x-1)=2x+3+1/(x-1). Đặt t=x-1>0: S=2t+5+1/t≥5+2√2, dấu bằng tại t=1/√2 (tức x=1+√2/2). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 5+2√2.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)<0 trên (0;1) và (1;2) nhưng hàm số không xác định tại x=1 (tiệm cận đứng), nên hàm không nghịch biến trên toàn khoảng (0;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại f(0)=2, giá trị cực tiểu f(2)=6, tích bằng 12.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được a=1, b=2, c=-2, d=-1 nên a+b+c+d=0≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x>1, y≥6>0 nên tổng khoảng cách S=x+y=(2x²+x-2)/(x-1)=2t+5+1/t với t=x-1>0, đạt min 5+2√2 tại t=1/√2.