Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$, $N$ là trung điểm của $OB$. Gọi $I$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(AMN)$. Tính tỉ số $\frac{SI}{SD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;1)$. Khi đó $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $M$ trung điểm $SC$ là $M(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$, $N$ trung điểm $OB$ là $N(\frac{3}{4};\frac{1}{4};0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(AMN)$: $\overrightarrow{AM}=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{AN}=(\frac{3}{4};\frac{1}{4};0)$, nên $\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AN}=(-\frac{1}{8};\frac{3}{8};-\frac{1}{4})\sim (-1;3;-2)$.

Mặt phẳng $(AMN)$: $-x+3y-2z=0$.

Điểm $I$ trên $SD$: $I=(0;t;1-t)$ với $t=\frac{SI}{SD}$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $3t-2(1-t)=0\Rightarrow 5t=2\Rightarrow t=\frac{2}{5}$.

Vậy $\frac{SI}{SD}=\frac{2}{5}$, khớp với đáp án nguồn C.